５７桁というのはすごいですね。
もしかしたら、この４パタン以外は存在しないかもしれない。
面白い展開になってきました。しかし、どうしたらそれがいえるのだろうか？
うまく結論がだせるといいですね。

９の倍数である証明は随分と簡単でしたね。
高校時代なら数学は得意だったのですが今は全く駄目になってしまいました。
で、５７桁まで調べてみましたが第５番目の規則は見つけられませんでした。
電気代と時間がもったいないので、ここらへんで止めときます。

それから前回載せた規則表にミスがありましたので(typeB)改めて４つの規則
を書きます。尚、この４つの規則は６００桁まで検証済みです。

　typeA: (4,5,9)×n　　　　　　　　　（ただし、n≧1，m≧0 とする。）
　typeB: (1,4,6,7) + (3,6)×m
　typeC: (1,2,3,4,5,6,7,8,9)×n + (3,6)×m
　typeD: (1,2,3,4,5,6,7,8,9)×n + (2,2,2,3,4,4,5,5,6,7,7,7,9,9)×m

第５番目の規則が見つかったとしても、次は第６番目の規則は？と考えるとキリ
が無いので、究極のナンプレ問題と同様に本質的な解決にならないのが方法論的
な弱点です。

「高橋の数」は、９の倍数である

ある数Ｎが９の倍数 ＜＝＝＞ Ｎ = ０ ｍｏｄ ９　（９で割った余りが０）

Ｎの１０進数表現を Ａ1Ａ2．．．Ａｎとすると
Ｎ ｍｏｄ ９ ＝ Ａ1 ＋ Ａ2 ＋ ．．． ＋ Ａｎ　ｍｏｄ ９
ｍｉｎ（Ｎ） は、Ａ1，Ａ2，．．．Ａｎを並べ替えただけなので
ｍｉｎ（Ｎ） ｍｏｄ ９ ＝｛Ａ1 ＋ Ａ2 ＋ ．．． ＋ Ａｎ｝ ｍｏｄ ９
　　　　　　　　　　　　＝ Ｎ ｍｏｄ ９
となる。同様に、ｍａｘ（Ｎ） ｍｏｄ ９ ＝ Ｎ ｍｏｄ ９

「高橋の数」の定義より、 Ｎ ＝ ｍａｘ（Ｎ） − ｍｉｎ（Ｎ） であるから
両辺のｍｏｄ ９をとると
　　　　 Ｎ ｍｏｄ ９ ＝ ｛ ｍａｘ(Ｎ) − ｍｉｎ（Ｎ） ｝　ｍｏｄ ９
　　　　　　　　　　　＝ ｛ｍａｘ（Ｎ） ｍｏｄ ９｝ − ｛ｍｉｎ（Ｎ） ｍｏｄ ９｝
　　　　　　　　　　　＝ ｛Ｎ ｍｏｄ ９｝ − ｛Ｎ ｍｏｄ ９｝
　　　　　　　　　　　＝ ０
　よって、「高橋の数」は、９の倍数である。

＞＞６６０８５２（Ｍａｘ＝８６６５２０，Ｍｉｎ＝２０５６６８）
＞ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ~~~~
＞この場合、Ｍｉｎ＝０２５６６８となるのでちがいます。桁落ちするものを
＞ふくめるかどうかはわかりません。(存在するかどうかもわかりません）

　そうですか。だいぶ楽になりました。一応プログラムで調べた結果ですが、
３７桁まで調べて次の４種類の規則性を見つけました。特にtypeDは２３桁目
で初めて登場するものです。これを思うと第５番目の規則性が存在するとして
何桁目で登場するものやら大変なことになりそう。しかし、この４つの規則性
総てに共通する規則は「９の倍数である」ということ。これを理論的に証明で
きれば、プログラムを書換えて探索速度を約９倍に出来ることになりますが。

typeA: (4,5,9)×n　　　　　　　　　（ただし、n≧1，m≧0 とする。）
typeB: (1,4,6,7)×n + (3,6)×m
typeC: (1,2,3,4,5,6,7,8,9)×n + (3,6)×m
typeD: (1,2,3,4,5,6,7,8,9)×n + (2,2,2,3,4,4,5,5,6,7,7,7,9,9)×m
typeE: ?

　 もちろん、無限に大きな「高橋の数」をつくることは可能です。ｍｉｎで表示すると
　　　４５９、４４５５９９、４４４５５５９９９、。。。
　　　１２３４５６７８９、１１２２３３４４５５６６７７８８９９、。。。
　 でも、8桁、9桁、10桁の「高橋の数」は、それぞれ1個、2個、１個しか存在しません。
　 そういう意味で少ないと思いました。甘かったかな？
　 ２０桁、３０桁の「高橋の数」はどのくらい存在するのでしょうか？

　 ＞要は「総ての法則性を洗い出せるか？」と言う問題のように思
　 ＞ったのですが、、、、、もっと明瞭で統一的なロジックがあるのかなぁ。
　
　 これがわかれば万歳ですが、。。。　　　

　 ＞６６０８５２（Ｍａｘ＝８６６５２０，Ｍｉｎ＝２０５６６８）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ~~~~
　 この場合、Ｍｉｎ＝０２５６６８となるのでちがいます。桁落ちするものを
　 ふくめるかどうかはわかりません。(存在するかどうかもわかりません）
　


　

高橋の名前が続きますね。ところで「高橋の数」が無限にあることは判ります。

　６(３...３)１７(６...６)４　(例:６３３３１７６６６４)

こういうものは必ず高橋の数となります。そして、こんな感じの法則性が何種類
かあるようです。要は「総ての法則性を洗い出せるか？」と言う問題のように思
ったのですが、、、、、もっと明瞭で統一的なロジックがあるのかなぁ。
　ところで、このようなものは「高橋の数」とは言わないのでしょうか？

　６６０８５２（Ｍａｘ＝８６６５２０，Ｍｉｎ＝２０５６６８）

受け売りの話で恐縮ですが、面白いことに高橋正視さんという方の考案された
「高橋の数」というものがあるそうです。

「高橋の数」とは、ある自然数Ｎに対して以下の関係が成り立つものです。

　　 Ｎ ＝ ｍａｘ（Ｎ） − ｍｉｎ（Ｎ）

　　 ただし、ｍａｘ（Ｎ）：Ｎの各桁を並べ替えて最大となる数
　　　　　　 ｍｉｎ（Ｎ）：Ｎの各桁を並べ替えて最小となる数


例えば、Ｎ＝３２４２とすると、
　　 ｍａｘ（Ｎ）＝ ４３２２，Ｍｉｎ（Ｎ）＝ ２２３４
　　 ｍａｘ（Ｎ）− ｍｉｎ（Ｎ）＝ ２０８８
となりますので、「高橋の数」ではありません。

「高橋の数」の例
　 ３桁 ：４９５のみ
　 ４桁 ：６１７４のみ
　 ５桁 ：存在しない
　 ６桁 ：５４９９４５、６３１７６４の２つ

　面白いことに９桁の「高橋の数」には、８６４１９７５３２があります。
（ｍｉｎ（Ｎ）＝１２３４５６７８９，ｍａｘ（Ｎ）＝９８７６５４３２１）

　どうやら、「高橋の数」はあまりたくさんは存在しないようです。

そこで、興味がわくのは、
　どこまで大きな桁数の「高橋の数」を調べることができるでしょうか？
　あるいは、「高橋の数」を求める式はあるのでしょうか？

塗り壁さん、こんばんは。deepgreenです。

グラフ理論は、興味はあるのですが、頭がついていけず、いつも入り口でｇｉｖｅｕｐです。
応用は広いので、少しは理解できるといいのですが、。。。
リンクありがとうございます。私の方からもリンクさせていただきます。
こちらこそよろしくお願いします。

今晩は　高橋さん　塗り壁こと高橋一男です。
私のページをリンクして下さってどうもありがとう御座いま
す。今まではグラフの一般的な話が私のページのメインでしたが
これからはパズル等への応用を図って行こうとしています。ので、
貴ページ、及びをdeepgreenさんのページをいろいろ参考にさせてもら
おうと思っています。
お二方へのページへリンクを張らせて頂く事にしました。
今後ともよろしくお願いします。

続けて、deepgreenさんの質問にも答えさせて頂きます。

deepgreenさん　今晩は　ご質問の件、私は化学は全く無知なのですが、
　問題をグラフ理論的に述べれば「木の数上げの問題」のようですね。
　そのアルゴリズムは私は存じておりませんが、多分Polyaの定理を
　使うことになると思われます。（Polyaの名前は、deepgreenさんの
　ページの文献の著者なので、この定理は既にご存知かも知れませんね。
　なお、私のページの第二部十八章でも触れています)
　木の場合に、Polyaの定理をどのように適用してやるか、折角ですから
　考えてみようと思っています。あまり期待しないでお待ち下さい。

塗り壁(高橋)さん、こんばんは。

グラフ理論てとても面白そうですね。高橋さんのホームページで勉強させて頂きます。
当ＨＰの「関連ホームページリンク集」からも「点と線の部屋」リンクさせて頂きました。
これからもよろしくお願いします。

deepgreen さん wrote:
> グラフ理論のアプローチでライツアウトを解いたという事実は貴重な情報だと思います。
> この卒論へのリンクを追加していただいたほうがよいのではないでしょうか？

そうですね。ライツアウトページの一番下にリンクを追加しておきました。