「高橋の数」の０の扱いがようやくわかりました。
　高橋正視さんのＨＰで「高橋の数」が再定義されています。

　いままで、我々が考えていたのは、タイプ２に分類されるもので、もともとは、
　タイプ１が原点で、
　　　７３０８の　最小数を　０３７８　とするのがタイプ２
　　　これを　　　３０７８(桁落ちしない範囲の最小数）とするのがタイプ１
　だそうです。
　タイプ１は、以前、高橋謙一郎さんが、問題にしていたものですね。
　ということで、タイプ１もやってみようと思っています。

「高橋の数」の結論をやっとＨＰに載せることができました。
　暇な人は見にきてください。

　ハイライトは、「高橋の数」の一般式を求めるアルゴリズムです。

http://www2.tokai.or.jp/deepgreen/

下の話題とは全然関係ないですが、ここ最近、お絵かきロジック（ののぐらむ、ピクロス）の
ソルバーを作ってました。とりあえず、動くだけのものはできたんですが、パズル系雑誌に
掲載されているような上級レベルの問題になると、解くのに数分かかってしまい、まだまだ
出来が悪いです。
高橋さんのJavaソルバーで試すと、10秒もかからずに解けてしまうので、おどろきです。

せっかくなので、カラーお絵かきロジックにも対応してみました。
基本的に同じアルゴリズムで解ける様子。

以上、雑談でしたσ(^_^)

↓8/11付けの日記に実行結果を載せてます。

http://cgi3.tky.3web.ne.jp/~yutakakn/diary/index.html

さっそく私も試してみました。おやおや、ちゃんと解けますね。
驚きました。deepgreenさんに見事に解決されてしまいました。

deepgreenさんて、いったいどういう人なの？　凄いですね！

宿題をお盆休みに残さないようにＨＰを更新しました。(下のURL)
読んでもらえれば判りますが後半は説明する気力を無くしてし
まいました。

ひとつだけ補足すると「最初に立てる連立式」は２色のものとは
異なります。最初に２色と同じと言ってしまったのは私ですが
間違いでした。でないとせっかく方程式を解いても実際にＮ色
ライツアウトを得られた結果の式を使って計算させてもライツ
がアウトになってくれません。

../../puzzle/lights_out/index2.html

続き
*** final *** Color=6,Raw=5,Col=5
　　1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 2 3　　4 3 3 1 2 - 2 5 - 3 - 2 2 3 1 4 - - - 5 2 - 4 4 -
　　- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 3 2　　1 1 2 3 5 4 3 - 2 4 4 4 5 3 1 - 2 - 1 4 - - 4 4 -
　　- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 3 3　　5 3 2 4 1 4 2 4 5 1 1 5 5 4 5 2 5 - 5 2 4 - 3 1 -
　　- - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 1　　3 5 3 3 4 4 1 1 3 5 4 1 4 - - 3 2 - 5 1 3 - 1 - -
　　- - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 4 3　　4 - 4 5 1 2 4 3 2 1 2 3 5 1 2 5 4 - 2 2 1 - 1 1 -
　　- - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - 2 1 1　　2 2 1 2 5 2 1 1 4 5 2 - 5 - 4 2 4 - 5 3 4 - 4 4 -
　　- - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - 4 4 4　　2 - 5 4 4 4 5 3 5 4 1 1 - 2 5 - 5 - - 1 - - 1 3 -
　　- - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - 5 - -　　3 3 - 2 2 - - 1 2 2 3 2 4 5 - 1 3 - 1 5 5 - 4 1 -
　　- - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 5 5 5　　- 4 3 1 - 2 5 4 2 5 5 3 4 1 5 2 1 - - 1 4 - 1 4 -
　　- - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - 3 2 2　　5 1 5 4 2 - 1 2 1 - - 2 3 5 4 4 - - 5 3 2 - 4 5 -
　　- - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - 4 5 4　　4 1 3 5 1 1 4 3 3 - 3 3 5 1 2 - 3 - 1 3 - - 3 1 -
　　- - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - 5 4 5　　4 - 4 1 2 2 4 1 5 3 2 5 4 2 2 3 4 - 5 5 3 - 5 - -
　　- - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -　　2 2 2 1 5 2 - 1 4 - 2 1 5 - 3 1 4 - - 3 5 - 3 3 -
　　- - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - 4 5 4　　1 5 1 2 4 - 5 4 5 - - 4 3 1 3 2 - - 1 2 4 - 2 2 -
　　- - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - 2 1 2　　3 1 - 2 3 2 2 3 1 1 5 4 - 5 1 1 1 - 5 - 5 - - 2 -
　　- - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - 1 2 2　　2 3 4 4 4 1 3 1 - 4 - 4 4 3 4 1 1 - 1 1 5 - - 1 -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 5 5 5　　- 3 4 1 - 3 5 4 1 5 4 3 4 1 - 2 2 - - - 4 - - 5 -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - 4 3 3　　2 2 5 - 5 2 3 5 2 1 5 - 3 4 4 5 1 - 5 3 1 - 4 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1 1　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - 3 4 4　　3 5 - 4 3 4 4 3 5 5 1 2 - 1 5 5 5 - 1 1 1 - - 3 -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 2 - 1　　- 5 1 2 1 1 - 4 2 3 5 2 5 1 - 4 - - 4 2 3 - 3 5 -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 3 4 3　　4 4 1 - 1 4 3 1 4 5 1 - 3 2 2 1 5 - 1 3 5 - 3 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 3 3　　2 5 1 4 2 5 4 2 5 - 1 2 - 1 5 4 5 1 1 - 2 - 5 3 -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 3 3　　2 - - 3 4 4 4 3 5 5 2 1 - 2 4 5 5 - 1 1 - 1 - 2 -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 3 3　　3 1 - 2 3 2 2 3 1 1 5 4 - 5 1 1 1 - 5 5 5 - - 3 1

***　end

以下にＣｏｌｏｒ＝４、６の解を添付
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

*** final *** Color=3,Raw=5,Col=5
省略
*** final *** Color=4,Raw=5,Col=5
　　1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1　　- 3 3 1 - 2 2 1 - 3 - - 2 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 - -
　　- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 -　　3 1 2 1 1 - 3 - - 2 2 - 3 1 1 2 - - 3 - - 2 2 - -
　　- - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 3　　3 2 3 3 3 3 - 1 3 2 2 2 1 3 - 1 3 1 1 3 2 1 2 - -
　　- - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 -　　1 1 3 - - 2 3 - 2 - 2 2 - 2 2 2 1 - 2 - 3 3 1 - -
　　- - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 1　　- 1 3 - 1 3 - - - - 1 - 1 - 3 - 2 3 - 1 1 3 2 - -
　　- - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 3　　2 - 3 2 3 2 3 3 - 3 2 - 3 - 2 - - 2 3 3 2 2 - - -
　　- - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - -　　2 3 - 3 - 3 3 2 1 1 - 2 2 1 2 3 1 1 2 - - 1 2 - -
　　- - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - 1 1　　1 - 1 - - 3 2 3 3 - 2 - - 2 1 3 - 3 2 1 3 2 3 - -
　　- - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - -　　- - 3 2 - - 1 3 3 2 3 - 2 3 3 1 2 - 1 - 2 1 3 - -
　　- - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - 3 3　　3 2 2 - - 3 1 - 2 - 1 2 3 2 3 2 1 1 2 3 - 2 1 - -
　　- - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - 1 -　　- 2 2 2 1 2 - 2 3 1 2 2 1 - 3 3 3 3 1 - - 1 - - -
　　- - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - 3 -　　- - 2 2 - - 2 - - 2 2 2 - - 2 - 3 2 2 - 3 1 1 - -
　　- - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - -　　2 3 1 - 1 3 2 - 2 3 1 - 3 3 2 - 2 3 2 - 1 3 2 - -
　　- - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - 1 -　　3 1 3 2 - - 1 2 3 2 - - 3 3 3 - - - 1 - - - - - -
　　- - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - 3 -　　1 1 - 2 3 2 2 1 3 3 3 2 2 3 3 1 3 - 1 - 1 2 2 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - 1 1　　2 2 1 2 - - 3 3 1 2 3 - - - 1 1 2 1 2 1 3 - 3 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - -　　- - 3 1 2 - 1 - 2 1 3 3 2 - 3 2 3 3 1 - - 2 3 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - 3 3　　2 - 1 - 3 2 1 3 - 1 3 2 3 - - 1 3 - 1 3 1 2 2 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - -　　2 3 1 2 - 3 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 3 - - 2 1 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - - 1 1　　1 - 3 - 1 3 - 1 - 3 - - - - - 1 - 3 - 1 3 - 1 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - 2 3　　2 - 2 3 1 2 - 3 2 - - 3 1 - 1 3 - 1 - 3 1 1 2 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 -　　- 2 1 3 3 2 1 2 1 2 1 1 3 - 2 - 2 2 2 - 1 3 3 - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 1　　2 2 2 1 2 - 2 3 3 1 - 1 2 - 2 3 3 2 1 1 2 3 - - -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -　　- 3 1 1 2 1 - 3 - 1 3 1 - 3 1 3 - 1 - 3 2 3 3 1 -
　　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -　　3 - 1 - 3 1 - 3 - 1 - - - - - 3 - 1 - 3 1 - 3 - 1
続く

５ｘ５のColor＝２〜９までは、連立方程式がとけました。（あってるかな？）

ポイントは、掃出しの基点となる係数には、Ａ＊Ｒ＝1　ｍｏｄ　ｐ　となる
Ｒが存在する（逆数が存在する）Ａの範囲にとどめることです。
例えば、２＊Ｒ＝１ｍｏｄ４となるＲは存在しませんので、掃出しの基点と
なる係数には２を使用できません。

６色の場合、新しい条件式のパターンがあらわれました。

３＊(X＋Y＋Z)＝Aという形をしています。
(23) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 3 3　　2 5 1 4 2 5 4 2 5 - 1 2 - 1 5 4 5 1 1 - 2 - 5 3 -
(24) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 3 3　　2 - - 3 4 4 4 3 5 5 2 1 - 2 4 5 5 - 1 1 - 1 - 2 -
(25) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 3 3　　3 1 - 2 3 2 2 3 1 1 5 4 - 5 1 1 1 - 5 5 5 - - 3 1

mod　６の世界では、３＊１＝３；３＊２＝０；３＊３＝３；３＊４＝０；３＊５＝３；
となるので、

　　(23)〜(25)の右辺に０，３以外の数字があらわれたら解は存在しないことになります
　　(23)〜(25)の右辺は０，３のいずれか一方でなければならない（左辺は同じだから）
　　よって、右辺が０の場合、Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝０、２、４という制約になる。
　　　　　　右辺が３の場合、Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝１、３、５という制約になる。

従来の解の存在条件式は、存在条件のみを要請するものであったが、今回の新しい
パターンでは、解の存在条件だけでなく、変数の制約をも要請するものである。


（おまけ）
ｐが素数の場合、フェルマの定理「Ａ＾（p-1）＝１ mod ｐ　(ただしＡ≠０）」
により、どのようなＡ(≠０）でもＲが存在するので必ずとけます。

続く

eXorさん、考察ありがとうございます。私が考察しているもと漠然と近いものがあります。

> だから両辺共に単純に半分に割ることはできないのでは。

そうなんですね。そして係数を１にする方法が無いのなら方程式は解けなかったと言わざるを得ません。
一般にＮ色ライツアウトを連立方程式で解く場合その方程式が解けるのはＮが素数の場合に限られます。
では、色数が素数で無い場合は連立方程式を使った解き方が出来ないのかと言うとそうではありません。

> 左辺を110001にするなら、右辺の０を０と２、右辺の２を１と３のどちらにするか、正しく
> 選べばいいのではないでしょうか。

これは２段階の演算を行うことで可能です。色数(Ｎ)が素数でないライツアウトを解く為には、先ず
Ｎを素因数分解し、分解されたそれぞれの素数での計算式を適用することで解くことが出来ます。
例えばＮ＝４の場合なら素因数分解すると２×２となるので「２色ライツアウト」の計算式を２段階で
使用します。例えば、答えが見え見えの簡単な例で示すと、

　　　問題面　　 押下法1　　 結果面1　　 押下法2　　 結果面2 　　　押下法(1,2を合成)
　　１１０２２　１００００　２２０２２　２０００２　０００００　　　３０００２
　　１０００２　０００００　２０００２　０００００　０００００　　　０００００
　　０００００　０００００　０００００　０００００　０００００　→　０００００
　　３００００　０００００　０００００　０００００　０００００　　　０００００
　　３３０００　１００００　０００００　０００００　０００００　　　１００００

最初の２色ライツアウト計算式適用では、問題面の数字が２で割り切れるものは０と見なされます。
従って、結果面1は［０,２］だけの集合になります。何故ならｍｏｄ２の世界では解けたと見なされ
ている状態だからです。２回目の計算式の適用は結果面1で ０→０,２→１ と見なして式を適用し、
得られた結果を今度は２倍します(２回押す)。そして、押下法1と押下法2を合成すると最終的な押下
法が得られることになります。これが現時点での私の結論ですが、課題が３つあります。

課題１
　何故、連立方程式が解けるのは色数が素数の場合に限られるのかは実験結果によるもので、まだ証明
　が出来ていません。(1000色までプログラムでテストした結果によります)

課題２
　４色ライツアウトは一発で解を得るのではなく２発で解を得ることになります。１２色(2*2*3)なら
　３発で解を得ることになります。計算式レベルの段階で合成して一発で解を得る計算式を作れない
　ものだろうか。

課題３
　解が存在するとき、何通りの解があると言えるのか？(４色なら２色×２色(１６通り)なのか？)

#もう少し詳しい説明をその内ＨＰにアップしようと考えています。

　まず、『係数２』の意味ですが。
　右辺の全ての項の係数が２でないなら、解が２通りある事を意味するでしょう。
　例えば、

> X=3, Y=2, C=4
> 1: 2----2　113-3-
> 2: -2----　11321-
> 3: --2--2　33323-
> 4: ---1-1　-311--
> 5: ----2-　313-1-
> 6: ------　1-33-1

　上の１２３５式を２倍すると全て

２倍: ------　222-2-

　このような、同じ式になります。これは、
　　　２２２
　　　０２０
　という押下パターンが『０解』である事を示しています。


　さて、次に両辺が２で割れない問題ですが。

　これはｍｏｄの影響で、２倍して０になる数が０と２、２になる数が１と３と、各２つあるからと思います。
（ 0*2 mod 4 = 2*2 mod 4 , 1*2 mod 4 = 3*2 mod 4 ）
　だから両辺共に単純に半分に割ることはできないのでは。

　例えば上の1,2式を足しあわせたものを考えると、
1+2式: 220002　222200
　左辺を110001にするなら、右辺の０を０と２、右辺の２を１と３のどちらにするか、正しく
選べばいいのではないでしょうか。

　もっともこれは仮説です。本当に110001となるパターンがあるかどうかは不明です。


　もし上の仮説が成立するならば。
　４式、６式と、1,2,3,5のうちいずれかを２倍した式、さらには1+2,1+3,1+5式の左辺をどう
にか２で割って右辺を調節したもの…以上の６式で、マトリックスが作れるのでは？
（※1,2,3,5式は２倍すると全て等しくなる、いわば同じグループの式なので、どの２式を足し
あわせても右辺が全て０か２になります。）

　ちょうど書いてみるなればこんな感じですね。

　　　4: ---1-1　-311--
(1+2)/2: 11---1　??????
(1+3)/2: 1-1---　??????
(1+5)/2: 1---11　??????
式の2倍: ------　222-2-
　　　6: ------　1-33-1

３色ライツアウトのゴマカシが解決しました。近い内に全面改定します。
しかし４色の場合は今だ未解決です。両辺を２で割るのは間違いでした。

　（２）ｍｏｄ４＝（２＋２＋２）ｍｏｄ４．．．これは正しい式
　（１）ｍｏｄ４＝（１＋１＋１）ｍｏｄ４．．．これは正しくない

ところで４色ライツアウトの一発計算式は作ることが出来ました。
あれこれやって偶然見付けたのですが何故そうなるのか説明が付い
ていません。ｍｏｄ演算の定理を全く知らないので．．．